Глава 2. МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА

2.3. Задача о минимуме квадратичного функционала

Пусть L - положительно определенный оператор в гильбертовом пространстве H, а f - данный элемент этого пространства. Квадратичный функционал

(2.7)

имеет область определения, очевидно, совпадающую с областью определения оператора L, так что D(J)=D(L). Функционал (2.7) называют функционалом энергии для оператора L.

В рассмотренном в 1.12 примере, функционал (1.60) для оператора L, определяемого из уравнения Эйлера (1.64) для функционала (1.60), и есть функционал энергии.

Поставим задачу о минимуме функционала энергии на множестве D(L). Докажем следующую теорему.

Теорема

Для того, чтобы некоторый элемент u0D(L) сообщал минимальное значение функционалу энергии, необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворял уравнению

(2.8)

Такой элемент единственный.

Необходимость. u0 реализует минимум функционала J (2.7), u0 будет удовлетворять уравнению Эйлера для этого функционала. Найдем уравнение Эйлера.

По определению первой вариации имеем (при α=1)

Раскрывая скобки и пользуясь симметричностью оператора L, получим

(2.9)

Отсюда

.

Правая часть этого выражения есть скалярное произведение фиксированного элемента Lu-f и произвольного элемента η∈D(J). Такое скалярное произведение есть функционал, ограниченный в H и D(J)=D(L).

По условию теоремы

.

Следовательно, уравнение Эйлера есть Lu0-f=0

что совпадает с (2.8). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть u0 удовлетворяет уравнению (2.8). Если u произвольный элемент из D(L), отличный от u0, то можно положить u=u0+η (&eta≠0). В равенстве (2.9) заменим u на u0 и положим α=1. Учитывая уравнение (2.8), получим

J(u)=J(u0)+(Lη,η).

Но L - положительно определенный оператор, η≠0, поэтому (Lη,η)≥0; и, следовательно, J(u)>J(u0). Это доказывает, что в точке u0 функционал J достигает минимума.

Остается доказать единственность элемента u0. Пусть минимум J достигается еще и на элементе u1. По только что доказанному J(u1)>J(u0). Но точно так же можно доказать, что J(u0)>J(u1). Полученное противоречие доказывает, что минимум функционала (2.7) может достигаться лишь в одной точке.

Доказанная теорема обосновывает переход от краевой задачи к вариационной. Ранее был показан переход от вариационной задачи к краевой для уравнения Эйлера.

Таким образом устанавливается равносильность следующих задач: решения уравнения Lu=f и отыскания минимума функционала энергии

J(u)=(Lu,u)-2(u,f).

Если одна из этих задач разрешима, то разрешима и другая, и элемент, решающий одну из этих задач, решает и другую.

Пример

Уравнение изгиба балки, лежащей на упругом основании, имеет вид

(2.10)

Здесь W(x) - прогиб балки в сечении с абсциссой x; J(x) - момент инерции этого сечения; k(x) - коэффициент податливости основания; q(x)- интенсивность поперечной нагрузки, действующей на балку; E модуль упругости материала балки.

Если концы балки при x=0 и x=l жестко заделаны, то должны выполняться условия

(2.11)

Построим функционал энергии (2.7) для оператора L, определяемого зависимостью (2.10). Из этого соотношения видно, что W(x)∈C(4)(0,l).

Имеем

.

Используя интегрирование по частям и условия (2.11), получим

Следовательно, функционал энергии (2.7) для оператора L краевой задачи (2.10), (2.11) будет иметь вид

(2.12)

Функционал (2.12) есть функционал полной энергии деформации балки, лежащей на упругом основании.

Следует заметить, что порядок производной искомой функции в функционале энергии (или в функционале полной энергии деформации конструкции) в два раза меньше, чем в дифференциальном уравнении, определяемом оператором L (или в дифференциальном уравнении равновесия конструкции). Поэтому необходимо иметь методы решения вариационных задач, которые бы позволили не прибегать к составлению уравнения Эйлера или Остроградского, а непосредственно применялись бы к функционалу. Однако нужны приближенные методы и для решения краевой задачи для уравнения Эйлера и Остроградского, так как эти задачи зачастую точного решения не имеют.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА