Глава 2. МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА

2.2. Положительно определенные операторы

Линейный, аддитивный и однородный оператор L, действующий в гильбертовом пространстве H с областью определения D(L)⊂H плотной в H, называется симметричным, если (черта сверху обозначает замыкание в метрике H) и если для любых u,vD(L) справедливо тождество (Lu,v)=(u,Lv).

Если L - симметричный оператор, то (Lu,v) - симметричный билинейный функционал и (Lu,u) квадратичная форма.

Определение 1. Симметричный оператор L называется положительным, если квадратичная форма (Lu,u)≥0 и (Lu,u)=0, тогда и только тогда, когда u=0

Определение 2. Симметричный оператор L называется положительно определенным, если

(2.1)

Это определение равносильно такому: симметричный оператор L называется положительно определенным, если существует такая постоянная γ2>0, что

(2.2)

Неравенство (2.2) называют неравенством положительной определенности.

Пример

В пространстве H=L2(0,1) рассмотрим оператор

(2.3)

Пусть D(L) состоит из функций u, удовлетворяющих следующим двум требованиям:

(2.4)

Определенный таким образом оператор L будет линейный и симметричный. Докажем, что оператор L положительно определенный. Напишем формулу Ньютона - Лейбница:

Но u(0)=0 в силу условий (2.4), поэтому

По неравенству Буняковского

Проинтегрируем последнее неравенство по x в пределах от 0 до 1:

(2.5)

Составим квадратичную форму

и интегрируя по частям, принимая во внимание условия (2.4), получим

(2.6)

Сопоставив (2.5) и (2.6), получим

Оператор L в (2.3) положительно определенный и число γ2 можно принять равным единице. Следует заметить, что существуют операторы положительные, но не положительно определенные.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА