Глава 2. МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА

2.1. Понятие о квадратичном функционале

Будем рассматривать функционалы, область определения которых принадлежит вещественному гильбертовому пространству. Банахово пространство называется сепарабельным, если оно содержит плотное счетное множество. Гильбертово пространство называется сепарабельным, если в нем есть полная счетная ортонормированная система. Одно из важнейших сепарабельных гильбертовых пространств – это пространство L2(Ω), где (Ω) измеримое множество в конечномерном пространстве.

Пусть дано гильбертово пространство H. Рассмотрим в H билинейный функционал Ω(u,v). Так называется функционал, зависящий от двух элементов пространства H и обладающий следующим свойством: при фиксированном v это линейный функционал от u

а при фиксированном u - линейный функционал от v

Здесь α12 вещественные числа.

Будем рассматривать только симметричные билинейные функционалы, для которых

Простейший билинейный симметричный функционал - это скалярное произведение (u,v) элементов u и v

например,

Квадратичным функционалом будем называть выражение

где Φ(u,u) - симметричный билинейный функционал; l(u) - линейный функционал.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА