Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.9. Изопериметрическая задача

Изопериметрическая задача ставится следующим образом: Даны функционалы J, G1, G2, ... , Gn и постоянные l1, l2, ... , ln; среди элементов области определения D(J) функционала J, удовлетворяющего уравнениям

(1.41)

требуется найти элемент, доставляющий функционалу J наименьшее значение.

Считается, что область

не пуста.

Частным случаем изопериметрической задачи является задача о наибольшей площади, поставленная в 1.2.2.

Здесь n =1.

(1.42)

За D(J) можно принять множество тех функций из С [a,b], которые обращаются в нуль при x=a и x=b (условие 3), а за D(F1) – множество функций из С(1) [a,b], удовлетворяющих тем же условиям (1.3). Очевидно, D(G1) ⊂ D(J) и пересечение D(G1) ∩ D(J) не пусто. Будем считать, что функционалы J, G1, G2, ... , Gn удовлетворяют требованиям 1, 2, 3. Пересечение линейных многообразий само есть линейное многообразие, поэтому существует элемент и линейное многообразие M0 такое, что любой элемент uD0 имеет вид u = u + η, ηM0.

Будем считать, что множество M0 плотно в рассматриваемом пространстве.

Справедлива теорема, принадлежащая Эйлеру и известная под названием правила множителей для изопериметрической задачи.

Теорема Эйлера. Пусть элемент u0D0 решает изопериметрическую задачу. Если существуют такие элементы η1, η2, ... , ηnM0, что определитель

(1.43)

отличен от нуля, то найдутся такие постоянные λk, k = 1, 2, ... , n, что

(1.44)

Рассмотренная теорема дает только необходимое условие минимума для изопериметрической задачи.

Техника решения изопериметрической задачи такова: составляем функционал

(1.45)

где λk – неизвестные постоянные, и составляем для этого функционала уравнение Эйлера. Оно содержит в качестве неизвестных элемент u0 и постоянные λ1, λ2, ... , λn. Эти неизвестные определяются из уравнения Эйлера и изопериметрических равенств (1.41).

В качестве примера рассмотрим задачу о наибольшей площади (см. 1.2.2). В соответствии с теоремой Эйлера введем постоянный множитель λ и составим функционал

Уравнение Эйлера для функционала Э примет вид

Интегрирование дает

Отсюда

Интегрируя еще раз, придем к уравнению окружности радиуса λ

(1.46)

Таким образом, если решение существует, то это – дуга окружности. Для определения ее радиуса λ и центра (c,c1) имеем три уравнения


Рис. 1.2

Пусть ω будет угол, под которым виден отрезок AB из центра окружности (рис.1.2):

Для определения ω имеем уравнение

решение которого всегда возможно при указанном выше условии. Подставляя условия (1.3) в уравнение (1.46), находим . Найдя из уравнения (1.46), найдем c1.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА