Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.8. Вторая вариация функционала. Достаточное условие минимума функционала

Рассмотрим функцию J(u+αη) от вещественной переменной α, считая uD(J) и ηM фиксированными.

Эту функцию разложим в ряд Тейлора:

(1.34)

где R1 – остаточный член ряда.

Выражение

(1.35)

называется второй вариацией функционала J на элементе u.

Разложение (1.34) можно записать в виде

(1.36)

Пусть функционал J достигает минимума, относительного или абсолютного на элементе u0. Тогда δJ(u0,η) = 0 и формула (1.36) дает

(1.37)

Из этого соотношения вытекает достаточное условие того, что элемент u0, удовлетворяющий уравнению Эйлера (экстремаль), сообщает функционалу минимальное значение. Для абсолютного минимума это условие имеет вид (учитывая, что J(u0+αη) - J(u0)

(1.38)

для относительного минимума оно состоит в том, что неравенство (1.38) выполняется, когда элемент η достаточно мал по норме.

Условие (1.38) в конкретных задачах трудно проверить, потому что величина θ обычно неизвестна, и непосредственно им, как правило, воспользоваться не удается.

Поэтому для проверки достаточного условия экстремума функционала пользуются более простыми условиями.

Запишем вторую вариацию для функционала (1.13)

пользуясь определением второй вариации (1.35)

где

Так как

то, предполагая наличие соответствующих производных у Ф, интегрируя по частям и принимая во внимание, что η(a) = η(b) = 0, получим

(1.39)

где

Считаем, что необходимое условие экстремума выполнено, т. е. δJ(u,η)=0 и для определенности будем говорить о минимуме функционала (1.13). Функция J(u+αη), как функция переменной α при α =0 должна иметь минимум, следовательно, необходимым условием минимума является тот факт, чтобы δ2J(u,η) ≥ 0 при любом выборе η(x). Можно показать, что отсюда непосредственно вытекает, что вдоль экстремали должно иметь место неравенство R≥ 0.

Условие

называют условием Лежандра.

Более сильное условие

называют усиленным условием Лежандра.

Рассмотрим интеграл, входящий в формулу (1.39), заменяя букву η буквой υ, получим

Уравнение Эйлера для этого интеграла будет иметь вид

(1.40)

причем, R=Φu'u' в этом уравнении есть коэффициент при υ" и в силу условия Φu'u' > 0, деля обе части уравнения на R, получим уравнение вида

с непрерывными в [a,b] коэффициентами p(x) и q(x). Уравнение (1.40) называют уравнением Якоби.

Пусть υ0(x) – решение уравнения (1.40), удовлетворяющее начальным условиям

Существенным для дальнейшего будет тот факт, имеет ли решение υ0(x) корни внутри промежутка [a,b]. Оказывается, что если такие корни имеются, то исследуемая экстремаль не может давать минимум функционалу (1.13).

Если υ0(x) ≠ 0 при a < x < b, то говорят, что экстремаль u(x) в промежутке (a,b) удовлетворяет условию Якоби, а если υ0(x) ≠ 0 при a < xb, то говорят, что экстремаль u(x) удовлетворяет усиленному условию Якоби. Следует заметить, что коэффициенты S и R уравнения (1.40) зависят от экстремали u(x) и, следовательно, высказанные выше условия являются условиями, накладываемыми на экстремаль u(x).

Имеет место следующая теорема. Усиленные условия Лежандра и Якоби достаточны для того, чтобы экстремаль давала слабый (местный) экстремум функционалу (1.13).

Можно показать, что если выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби и, кроме того, Φu'u'(x,u,p) положительно для всякого конечного p в некоторой области, содержащей экстремаль u(x) внутри, то эта экстремаль дает сильный (абсолютный) минимум.

Пример. Докажем, что экстремаль (1.30) (см. пример 1 в 1.7) дает функционалу (1.28) сильный минимум. Из (1.28) имеем

Уравнение (1.40) принимает вид

его решение при условии ν(0)=0, ν'(0)=1 имеет вид

Функция ν(x) на отрезке 0 < x ≤ 1 удовлетворяет усиленному условию Якоби, так как на этом отрезке она положительна. Так как

то и усиленное условие Лежандра выполняется. Следовательно, экстремаль (1.30) дает функционалу (1.28) сильный (абсолютный) минимум.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА