Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.7. Пути решения вариационных задач

Один из путей решения вариационной задачи, т. е. задачи нахождения минимума некоторого функционала J(u) при заданных краевых условиях, состоит в сведении этой задачи к краевой задаче для дифференциального уравнения при тех же краевых условиях, которое является уравнением Эйлера для этого функционала, с последующим решением этой задачи.

Второй путь решения вариационной задачи состоит в применении вариационных методов (см. гл. 4), которые позволяют приближенно найти функцию u0, дающую минимум функционалу J(u) и удовлетворяющую заданным краевым условиям.

Рассмотрим несколько примеров решения задач вариационного исчисления, основанных на нахождении уравнений Эйлера с последующим их решением.



Пример 1


Найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условию

(1.27)

и дающую минимум функционалу

(1.28)

Будем считать, что функция u(х) непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение Эйлера для функционала (1.28) будет иметь вид

(1.29)

Таким образом, получили краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (1.29) будет иметь вид

Для нахождения произвольных постоянных c1 и c2 воспользуемся краевыми условиями (1.27). В результате получим

откуда

Следовательно, функция, дающая минимум функционалу (1.28) при условии (1.27), будет иметь вид

(1.30)

Пример 2


В качестве второго примера рассмотрим задачу о брахистохроне.

Как было показано ранее (см. 1.2.1), задача состоит в том, чтобы найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условиям:

и сообщающую минимум функционалу

В этом случае

(1.31)

Функция (1.31) при u = 0 терпит разрыв. Путем несложных рассуждений показывается, что все-таки можно воспользоваться уравнением Эйлера в виде (1.26).

Уравнение (1.26) приводится к виду

(1.32)

Отсюда

.

Положим

Тогда

Дифференцируя это выражение, получим Замена дает дифференциальное уравнение относительно φ'

Далее

Положив

получим

(1.33)

Таким образом, если задача о брахистохроне имеет решение, то это решение есть циклоида.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА