Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.6. Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами



Рассмотрим основную лемму вариационного исчисления.

Лемма Лагранжа

Пусть f(х, у) – функция, непрерывная в области D с контуром Г. Если непрерывной в области D вместе со своими частными производными до n-го порядка включительно и обращающейся в нуль на границе Г(η(х, у)|Г = 0), то

f(х,у)=0.

Для примера, рассмотренного в 1.4, было получено в точке минимума функционала (1.13) условие

(1.25)

Исходя из леммы Лагранжа, можем записать

(1.26)

Если условие (1.25) записать в виде

то, очевидно, что δu (вариация искомой функции) – функция неравная нулю на отрезке (а, b), поэтому должно выполняться условие (1.26).

Уравнение (1.26) можно еще записать в виде grad J(u0)=0.

Уравнение (1.26) называют уравнением Эйлера. Если предположить существование непрерывной второй производной от u(х), то уравнение (1.26) можно записать в виде

Таким образом, условие минимума функционала (1.13) при условии (1.14) приводит к краевой задаче для уравнения Эйлера (1.26) при тех же условиях (1.14), т. е. существует тесная связь между вариационной задачей о минимуме функционала и краевой задачей для уравнения Эйлера для этого функционала.

Решения уравнения Эйлера (1.26), удовлетворяющие условиям (1.14), называют экстремалями функционала (1.13).

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА