Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.4. Первая вариация и градиент функционала

Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент

(1.10)

Составим выражение J(u+αη). В силу требования 2 J(u+αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0

(1.11)

В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (1.11), зависящего от двух элементов u и η.

Определение. Функционал

называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ(u, η):

(1.12)

При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) – u1(х).

Пример. Найти первую вариацию функционала

(1.13)

область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям:

(1.14)

где А и В – заданные постоянные. Условия (1.14) означают, что кривые у = u(х), где u є D(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (1.13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ(u, η) – не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13):

(1.15)

Можно показать, что интеграл

(1.16)

есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:

(1.17)

В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям:

Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде

(1.18)

Здесь u + αη – u = αη = δu и можно записать

(1.19)

Вариацию δJ(u, η) можно записать в виде

(1.20)

Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом Р = grad J.

Если u є D(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде

(1.21)

Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА