Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.13. Функционалы, зависящие от нескольких функций

Рассмотрим функционал

(1.65)

Зададим его на парах {u,v} функций из C(1)[a,b] (непрерывных вместе со своей первой производной), удовлетворяющих краевым условиям

(1.66)

где A1,A2,B1,B2 – постоянные. Множество таких пар обозначим через D(J). Каждую такую пару будем называть вектором. За η(x) и ξ(x) возьмем функции из C(1)[a,b], удовлетворяющие условиям

Множество векторов {η,ξ}, очевидно линейное, и D(J) есть линейное многообразие. Таким образом, функционал (1.65) удовлетворяет требованиям 1, 2, 3.

Строим две функции, близкие к u(x) и v(x):

Подставив их в функционал (1.65), получим функцию J(α,α1) от α и &alpha1. Найдем частные производные от J(α,α1) по α и &alpha1 при α=&alpha1=0:

Первая вариация функционала (1.65) выражается формулой

где αη(x)=δν, α1ξ(x)=δν.

Откуда получаем уравнения Эйлера для функционала (1.65) в виде системы двух дифференциальных уравнений

(1.67)

Эти уравнения должны решаться при краевых условиях (1.66).

Пример

Рассмотрим тонкие пологие оболочки прямоугольного плана, допускающие малые прогибы по сравнению с их толщиной h. В этом случае зависимости деформаций от перемещений в срединной поверхности оболочки имеют вид

(1.68)

где u(x,y), v(x,y), w(x,y) – перемещения точек срединной поверхности оболочек вдоль осей x,y,z соответственно; kx,ky – главные кривизны оболочки в направлении осей x и y соответственно. В точках, отстоящих на z от срединной поверхности, эти зависимости для модели Кирхгофа – Лява принимают вид

(1.69)

Соотношения между напряжениями и деформациями для упругого изотропного материала оболочки будут иметь вид

(1.70)

Дифференцируя напряжения (1.70) по z в пределах от -h/2 до h/2, получаем усилия и моменты, приходящиеся на единицу длины сечения и приведенные к срединной поверхности оболочки,

(1.71)

Аналогично определются Ny и My.

Функционал полной энергии деформации оболочки, находящейся под действием поперечной нагрузки q(x,y), имеет вид

(1.72)

Здесь S – область, занимаемая оболочкой, а именно,

Необходимо найти функции u0(x,y), v0(x,y), дающие минимум функционалу (1.72). Для многих задач механики (для рассматриваемой здесь тоже) доказано, что необходимое условие экстремума

(1.73)

является и достаточным для минимума функционала полной энергии деформации.

Краевые условия оговаривать пока не будем.

Первая вариация функционала (1.72) имеет вид

(1.74)

где

(1.75)

Вариации искомых функций перемещений в (1.75) введены, чтобы не загромождать запись новыми функциями η(x,y),ε(x,y), θ(x,y). По сути дела

и т.д.

Теперь вариационное уравнение (1.73) с учетом (1.74) нужно преобразовать так, чтобы под знаком вариации не было производных от искомых функций. Например,

В результате вариационное уравнение

примет вид

(1.76)

Так как в области S вариации искомых функций δu, δv, δw произвольны (не равны нулю), то сомножители, стоящие перед ними в двойном интеграле, на основании леммы Лагранжа, должны равняться нулю. Таким образом получаются уравнения Эйлера

(1.77)

Уравнения (1.77) являются уравнениями равновесия для рассматриваемых оболочек (линейная теория оболочки).

Одномерные интегралы в вариационном уравнении (1.76) позволяют сформулировать граничные условия на краю оболочки:

при x = 0 , x = a
Nx = 0 при u = 0; Nxy = 0 при v = 0;

(1.78)

или
w = 0 при u = 0; Mx = 0;

Если, например, оболочка шарнирно-неподвижно закреплена по контуру, то должны выполняться условия:

при x = 0 , x = a

при y = 0 , y = b

При этом одномерные интегралы в (1.76) будут равны нулю.

Если в уравнения (1.77) подставить (1.71) с учетом (1.68), то получим уравнения равновесия для оболочек в перемещениях (относительно искомых функций перемещений u(x,y), v(x,y), w(x,y))

где

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА