Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.12. Функционалы от функций, имеющих производные высших порядков

Рассмотрим функционал вида

(1.52)

Будем считать, что функция Φ(x,z0,z1,...,zk) определена в области x∈[a,b], -∞ < zj < +∞, j = 0,1,...k и в этой области k раз непрерывно дифференцируема.

Функционал (1.52) зададим на функциях u∈C(k)[a,b], удовлетворяющих краевым условиям

(1.53)

где Aj, Bj – заданные постоянные. Возьмем функцию uD(J) в виде u+αη, чтобы удовлетворялись требования 1, 2, 3, и составим функционал

(1.54)

Пусть функция такова, что имеет обобщенную производную j-го порядка, тогда

и, следовательно,

(1.55)

Откуда получим уравнение Эйлера

(1.56)

с краевыми условиями (1.53).

Сказанное выше переносится на случай функции многих независимых переменных. Для функционала

(1.57)

при краевых условиях

(1.58)

где ν – нормаль к Г.

Уравнение Остроградского будет иметь вид

(1.59)

Это уравнение должно решаться при краевых условиях (1.58).




Пример

Выражение полной энергии деформации жесткой пластинки (плиты) при малых перемещениях, находящейся под действием поперечной нагрузки q(x,y), представляет собой функционал вида

(1.60)

где W(x,y) – прогиб пластинки;

E, μ – механические характеристики материала пластинки; h – толщина пластинки.

Функция W(x,y) является непрерывной функцией, имеющую непрерывную производную до четвертого порядка включительно, и все требования 1, 2, 3 будут выполнены.

При шарнирно-неподвижном закреплении краев пластинки должны выполняться условия:

при x = 0 , x = a

(1.61)

при y = 0 , y = b

(1.62)

Получим уравнение Эйлера (Остроградского) для функционала (1.60) при краевых условиях (1.61), (1.62). Так как

то уравнение Остроградского принимает вид

(1.63)

При этом

Поставив эти выражения в (1.63), получим уравнение Остроградского для функционала (1.60)

(1.64)

Уравнение (1.64) является уравнением равновесия рассматриваемой пластины и должно решаться при граничных условиях (1.61), (1.62).

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА