Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.11. Функционал от функций нескольких независимых переменных

Рассмотрим конечную область Ω в m-мерном Евклидовом пространстве. Будем считать, что граница Г области Ω состоит из конечного числа кусочно-гладких (m–1) - мерных поверхностей.

Рассмотрим функционал

(1.47)

при условии

где g() – заданная непрерывная функция на поверхности Г. Считаем, что выполнены требования 1, 2, 3.

Найдем первую вариацию функционала (1.47)

(1.48)

Здесь обозначено

Пусть функция uD(J) такова, что существуют обобщенные производные

Тогда имеем

и, следовательно,

(1.49)

В этом случае уравнение Эйлера для функционала (1.47) принимает вид

(1.50)

и называется уравнением Остроградского.




Пример

Найти уравнение Эйлера для функционала

при краевом условии

Пусть функция u(x,y) подчиняется всем оговоренным выше условиям, тогда уравнение (1.50) принимает вид

(1.51)

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА