Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.10. Минимизирующая последовательность

Пусть J – произвольный ограниченный снизу функционал. В этом случае существует нижняя грань его значений

Последовательность {un} элементов из D(J) называется минимизирующей для функционала J, если существует предел J(un), равный m.

Теорема 1. Функционал, ограниченный снизу, имеет, по крайней мере, одну минимизирующую последовательность.

Из определения нижней грани следует: 1) для любого элемента uєD(J) справедливо неравенство J(u) ≥ m; 2) для любого ε > 0 существует такой элемент u(ε) из D(J), что J(u(ε)) ≤ m + ε.

Положим

и обозначим

Тогда

откуда следует, что lim J(un)=m.

Теорема 2. Пусть D(J) – линейное многообразие некоторого банахова пространства X. Если функционал J непрерывен в D(J) и существует предел минимизирующей последовательности u0 = lim un, то элемент u0 сообщает функционалу J минимальное значение.

Доказательство вытекает из непрерывности функционала

Теоремы 1, 2 создают возможность решать задачу о минимуме функционала, минуя уравнение Эйлера. Для этого надо прежде всего погрузить множество D(J) в такое банахово пространство X, в котором функционал J был бы непрерывен. Далее следует построить минимизирующую последовательность. Если она сходится, то ее предел решает вариационную задачу.

На этом построены численные вариационные методы (см. гл. 4) и обоснование их сходимости.

Вариационное исчисление


Глава 1.
ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Глава 2.
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА